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南昌市2004-2005學年度高三第二次調研測試卷數學(文史類)2005.4.29

南昌市 2004-2005 學年度高三第二次調研測試卷 -



文史類) 學(文史類 文史類

選擇題: 本大題共 12 小題 每小題 5 分, 共 60 分, 在每小題給出的四個選項中 只有一 小題, 在每小題給出的四個選項中, 一、 選擇題 項是符號題目要求的. 項是符號題目要求的 的關系是( 1. 若集合 A={x|log 1 ≥0}, B={y|y= x ? 1 }, 則集合 A 與 B 的關系是
2
3

)

A. A B

B. A

B

C. A=B

D. B A ∪ B )

2. 設 a=2cos 2 28 0 -1, b= A. a<b<c

2 2 (cos18 0 -sin18 0 ), c=log 1 , 則 ( 2 2 2
C. b<c<a D. c<b<a )

B. b<a<c

3. 函數 y=x 3 -3x 在[-1, 2]上的最小值是 ( - 上的最小值是

A. 0 B. -4 C. 2 D. -2 4. 已知 -b|>|a|-|b|(a、b ∈ R), 則下列不等式一定成立的是 已知|a- 則下列不等式一定成立的是( - 、 A. a<b B. ab ≠ 0 C. a <ab
2

)

D. ab<b

2

5. 已知動點 P(x, y)的坐標使 3x-y, 2 2 xy , x+3y 成等比數列, 則 P 點組成的圖形是( 的坐標使 - 成等比數列 點組成的圖形是 y=-x y x y=x (A) 6. 設 f(x)=2 ? x , 則 y= A. 遞減函數 (B) (C) ) D. 先遞增再遞減 (D) o y x y=-x o y y=x x o y y=x

)

o

x y=-x

1 [f(-x)-f(x)]的反函數在其定義域內是 的反函數在其定義域內是( - - 的反函數在其定義域內是 2
B. 遞增函數 遞增函數 C. 先遞減再遞增

7. 設 P 點是拋物線 y=x 2 上任意一點 則點 P 和直線 x+y+2=0 上的點的距離最小時 點 P 上任意一點, 上的點的距離最小時, 到該拋物線的準線間距離是( 到該拋物線的準線間距離是 A. 2 B. 1 C. )

1 9 1 1 1 8. △ABC 中, 三邊為 a、b、c, 若 , , 成等差數列, 所對的角為( 、 、 成等差數列 則邊 b 所對的角為 a b c
D. A. 銳角 B. 鈍角 C. 直角 D. 不能確定 則兩條切線間圓的劣弧長為( 則兩條切線間圓的劣弧長為 ) 9. 從原點向圓 x 2 +y 2 -6y+ A.

1 2

)

π

B.

2π 3

27 =0 作兩條切線, 作兩條切線 4 3π C. D. 2

4π 3

10. 甲、 乙兩公交車往返于相距 24 公里的 A、 兩地之間 現兩車分別從兩地同時駛出 甲 B 、 兩地之間, 現兩車分別從兩地同時駛出, 公里, 公里, 到達異地后立即返回, 若不計轉向時間, 每小時行駛 36 公里 乙每小時行駛 24 公里 到達異地后立即返回 若不計轉向時間

小時止, 他們相遇次數為( 則從開始到 4 小時止 他們相遇次數為 A. 4 次 B. 5 次 C. 6 次

) D. 7 次

n 的展開式中 式中, 的相鄰兩項, 11. 在二項式 在二項式(1+x) 的展開式中 存在著系數之比為 5: 7 的相鄰兩項 則指數 n(n ∈ N*)的最 的最

小值為( 小值為 A. 13 12. 直線 y=

) B. 12 C. 11 D. 10

3 x2 y2 x 與雙曲線 2 - 2 =1(a>0, b>0)的交點在實軸上的射影恰好為雙曲線的焦 的交點在實軸上的射影恰好為雙曲線的焦 2 a b
) A.

則雙曲線的離心率為( 點, 則雙曲線的離心率為

2

B. 2

C. 2 2

D. 4

小題, 把答案填在題中橫線上. 二、填空題: 本大題共 4 小題 每小題 4 分, 共 16 分, 把答案填在題中橫線上 填空題

b 13. 已知平行四邊形 ABCD 的對角線 AC 和 BD 相交于 O, 且 OA = a , OB = b , 若用 a 、
表示向量 BC , 則 BC =_____________________.









14. 設 A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={1, 3, 5, 7, 9}, 集合 C 是從 A ∪ BB 中任取 2 個元素組成的集合 個元素組成的集合, 的概率是____________ 則 C A ∩ B 的概率是 15. 如圖, 在正方體 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 過頂點 D 1 在空間作直線 l , 使 l 與直線 AC 和 如圖 - BC 1 所成的角都等于 60 0 , 這樣的直線 l 可以作 可以作____________條. 條 A1 D A B D1 B1 C C1

16. 已知偶函數 y=f(x)(x ∈ R)在區間 -1, 0]上單調遞增 且滿足 f(1-x)+f(1+x)=0, 給出下列 在區間[- 上單調遞增, 在區間 上單調遞增 - 判斷: 上是減函數; 對稱; 判斷 ① f(5)=0; ② f(x)在[1, 2]上是減函數 ③ f(x)的圖象關于直線 x=1 對稱 ④函數 在 上是減函數 的圖象關于直線 y=f(x) 在 x=0 處 取 得 最大 值 ; ⑤ 函 數 y=f(x) 沒 有 最 小 值 . 其 中 正確 論斷 的 序 號 是 __________________. (注: 把你認為正確論斷的序號都填上 注 把你認為正確論斷的序號都填上)

小題, 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 三、解答題: 本大題共 6 小題 共 74 分, 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 解答題 17. (本小題滿分 12 分) 本小題滿分 為銳角, - 設 α 、 β 為銳角 且 a =(sin α , -cos α ), b =(-cos β , sin β ), a + b =( 的值. 求 a · b 和 cos( α + β )的值 的值
→ → → → → →

6 , 6

2 ), 2

18. (本小題滿分 12 分) 本小題滿分 有一個 4×5×6 的長方體 它的六個面上均涂上顏色 現將這個長方體鋸成 120 個 1×1 × × 的長方體, 它的六個面上均涂上顏色. × 的小正方體, 從這些小正方體中隨機地任取 ×1 的小正方體 從這些小正方體中隨機地任取 1 個. (I) 求取到恰有 2 面涂有顏色的小正方體的概率 面涂有顏色的小正方體的概率. (II) 每次從中任取 1 小塊后再放回 求取出的 3 次中恰好有 2 次取到兩面涂有顏色的小 小塊后再放回, 正方體的概率. 正方體的概率

19. (本小題滿分 12 分) 本小題滿分 的交點, 已知直三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中, ∠ ACB=90 , CC 1 =3, BC=4, G 是 AB 1 和 A 1 B 的交點 -
0

若 C 1 G ⊥ A 1 C. (I) 求 CA 的長 的長. (II) 求點 A 到平面 A 1 BC 1 的距離 的距離; - 的大小 (III) 求二面角 C 1 -A 1 B-C 的大小.

A

A1

G C C1

B

B1

20. (本小題滿分 12 分)值. 本小題滿分 值
4 2 的圖象過點(0, 處切線是 已知 f(x)=ax +bx +c 的圖象過點 1), 且在 x=1 處切線是 4x+y-2=0. -

(I)求 y=f(x)的解析式 求 的解析式. 的解析式 (II)求 y=f(x)的遞減區間 的遞減區間. 求 的遞減區間

21. (本小題滿分 12 分) 本小題滿分 數列{na n }的前 n 項和為 B n , 且有 已知數列{a 的前 的前 已知數列 n }的前 n 項和為 A n , 數列 (I) 求{a n }的通項公式 的通項公式. 的通項公式 (II)記 c n =a n +1 -a n , 數列 n }的前 n 項和為 S n , 求證 3S n ≥2. 記 數列{c 的前 求證:

An ? n =1. 2 Bn

22. (本小題滿分 14 分) 本小題滿分 已知橢圓 C:

x2 y2 1 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦點分別為 F 1 、F 2 , 離心率 e= , P 1 為橢 的左、 的左 2 2 a b
9 , 斜率為 k 的直線 l 過左焦點 F 1 且與橢 4

圓上一點, 圓上一點 滿足 F1 F2 · P1 F2 =0, P1 F1 · P1 F2 =

圓的兩個交點為 P、Q, 與 y 軸交點為 G , 點 Q 分有向線段 GF1 所成的比為 λ . 、 (I) 求橢圓 C 的方程 的方程. 的取值范圍. (II) 設線段 PQ 中點 R 在左準線上的射影為 H, 當 1≤ λ ≤2 時, 求|RH|的取值范圍 ≤ 的取值范圍

南昌市 2004-2005 學年度高三第二次調研測試卷 - 數學(文史類 文史類)參考答案及評分標準 數學 文史類 參考答案及評分標準
一、選擇題: ACDDB BCAAB CB 選擇題 填空題: 二、填空題 13.- a - b - 三、解答題 17. 解: (1) 由 a =(sin α , -cos α ), b =(-cos β , sin β )及 a + b =( - 及
→ → → → → →

14.

3 28

15. 3

16. ① ② ④

6 , 6

2 )得 得 2

sin α -cos β =

6 …………… (1) 6 2 ………… (2) 2
…………………………… 2 分

cos α -sin β =- -

? sin( α + β )=
→ →

2 3

……………………………………………… 6 分

∴ a · b =- sin( α + β )=- - -

2 3

…………………………………… 8 分

由(1)知 sin α -cos β >0, 故 sin α >sin( 知

π
2

均為銳角, - β ), 又 α 、 β 均為銳角



π
2

<α + β <π

∴ cos( α + β )=- -

5 3

………………………………………… 12 分

18. 解: (1) 記“取得恰有兩面涂有顏色的小正方體”為事件 A, 取得恰有兩面涂有顏色的小正方體” ∵ 涂有 2 面顏色的小正方體有 4×(2+3+4)=36 ……… 4 分 ×

∴ P(A)=

36 3 = ………………………………………… 6 分 120 10 3 2 7 ) × =0.189 ………………………………… 12 分 10 10

(2) 記“取一次”為事件 B, 依題意可知 取 3 次恰有 2 次相當于 依題意可知, 取一次” P 3 (2)=C 3 (
2

19. 解: (1)連 AC 1 交 A 1 C 于 E, 連 為正方形, 易證 ACC 1 A 1 為正方形 A E G C H C1 D B B1 A1

∴ AC=3 …………… 5 分
(2)在面 BB 1 C 1 C 內作 CD ⊥ BC 1 , 則 CD 就是 在面 點 C 平面 A 1 BC 1 的距離

CD=

12 ……………… 8 分 5

(3) 易得 AC 1 ⊥ 面 A 1 CB, 過 E 作 EH ⊥ A 1 B 于 H, 連 HC 1 , 則 HC 1 ⊥ A 1 B

∴ ∠ C 1 HE 為二面角 C 1 -A 1 B-C 的平面角 ……………… 9 分 - 的平面角.

∴ sin ∠ C 1 HE=

17 5 17 ………… 12 分 5

∴ 二面角 C 1 -A 1 B-C 的大小為 arcsin -

另解: 分別以直線 CC C y 另解 (1)分別以直線 C 1 B、 1 、 1 A 為 x、 為軸建立空間直角坐標系 設|CA|=h, 、 、 為軸建立空間直角坐標系, 則 C 1 (0, 0, 0), B 1 (4, 0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3, 0), A 1 (0, 0, h), A(0, -3, h), G(2, -

3 h , - ) ……………………… 3 分 2 2 3 h ∴ C1G =(2, - , - ), A1C =(0, -3, -h) ……… 4 分 2 2

∴ C1G · A1C =0, ∴ h=3
(2)設平面 A 1 BC 1 得法向量 n1 =(a, b, c) 設平面 則可求得 n1 =(3, 4, 0) (令 a=3) 令
→ →

∴ 點 A 到平面 A 1 BC 1 的距離為 H=|


(0,?3,?3) ? (3,4,0) 12 |= ……… 8 分 5 5

(3) 設平面 A 1 BC 的法向量為 n 2 =(x, y, z) 則可求得 n 2 =(0, 1, 1) (令 z=1) 令


∴ 二 面 角
cos θ =

C

1

- A

1

B - C

的 大 小 θ

滿 足

(3,4,0) ? (0,1,1) 2 2 = ……… 11 分 5 5× 2 2 2 5
……………… 12 分

∴ 二面角 C 1 -A 1 B-C 的大小為 arccos -
的圖象過點(0, 20. (1) ∵ f(x)的圖象過點 1) 的圖象過點

∴ c=1, ∴ y / =4ax 3 +2bx ∴ 4a+2b=-4 - …………………………………… 4 分
且切點坐標為(1, -2), 故 a+b+1=-2, 可解得 a=1, b=-4 且切點坐標為 - -
4 2 故 f(x)=x -4x +1 ………………………………… 6 分

(2) 令 f / (x)=0, 解得 x=0, ±

2 , 由 f / (x)的符號易得 的符號易得 2 ), (0, 2 ) ……… 12 分

f(x)的單調遞減區間為 - ∞ , 的單調遞減區間為(- 的單調遞減區間為 21. 解: (1) 由

An ? n =1 得 2 Bn

A n -n=2B n A n +1 -(n+1)=2B n +1 , 兩等式相減得 兩等式相減得: a n +1 -1=2(n+1)a n +1 , ∴ a n +1 =- -

1 2n + 1

? a n =- -

1 2n ? 1

…………………………………… 6 分

(2)S n =C 1 +C 2 +C 3 + … +C n =(a 2 - a 1 )+(a 3 - a 2 )+ … +(a n - a n ?1 )+(a n +1 -

1 1 +1 …………………… 10 分而 - 分而{- }為 為 2n + 1 2n + 1 1 ?1 2 遞增數列, +1≥ +1= 遞增數列 故 S n =- - ≥ 2n + 1 2 ×1 + 1 3
a n )=a n +1 -a 1 =- - 即 3S n ≥2 ……………………………………………… 12 分.

22. 解 : (1) 設 | P1 F1 |=r 1 , | P1 F2 |=r 2 , F1 F2 · P1 F2 =0, △ P 1 F 1 F 2 為 直 角 三 角 形 且

∠ P

1

F

2

F

1

=90

0

,



r

1

cos ∠ F

1

P

1

F

2

=r

2

,



P1 F1 · P1 F2 =
由(2a- -

9 9 3 ? r 1 r 2 cosF 1 P 1 F 2 = ? r 2 = …………… 2 分 4 4 2 3 2 9 b2 3 ) = +4c 2 得 = , …………………………… 3 分 2 4 a 2
……………………………………………………… 4 分

又 e=

c 1 = a 2

2 2 解得 a =4, b =3

∴ 橢圓 C 的方程為

x2 y2 + =1 ………………………………… 6 分 4 3

(2) 可求得 可求得|RH|=3+

3 3 + 4k 2

………………………………………… 8 分

在 y=k(x+1)中, 令 x=0, 得 y=k, 即得 G(0, k), 由定比分點坐標公式 中

3 ? k 2 = (3 λ 2 +8 λ +4) ……………………………………… 10 分 4
顯然 f( λ )=3 λ
2

+8 λ +4 在[1, 2]上遞增 上遞增, 上遞增

45 2 ≤k ≤24, 4 1 1 ∴ 3 ≤|RH|≤3 33 16


…………………………………… 14 分


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