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高一數學新課標必修42-4-1_圖文

第二章

平面向量

2.4 平面向量的數量積

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第二章

平面向量

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第二章

平面向量

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平面向量

1.向量數量積的物理背景
一個物體在力f的作用下產生位移s,那么力f所做的功 W= |f||s|cosθ .其中θ是f與位移s之間的夾角.這一物理公式 告訴我們兩個向量可以定義乘積運算,并且它們的積是一 個 數量 .
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平面向量

2.向量數量積的定義
兩個非零向量a與b的數量積(或內積)為:a·b= |a|·|b|cosθ 當θ為 當θ為 ,其中θ是 銳角 鈍角 直角 a與b的夾角 ,
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時,a·b>0. 時,a·b<0.

當θ為
當θ= 當θ=

時,a·b=0.

180° 時,a·b=-|a||b|. 0°時,a·b=|a|·|b|.

規定零向量與任一向量的數量積為0.

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平面向量

3.向量數量積的幾何意義
對于a·b=|a|·|b|cosθ,其中 在b方向上的投影. a·b的幾何意義是:數量積a·b等于 a的長度|a|與b在 a方向上的投影|b|cosθ的乘積 .

|b|·cosθ

叫做向量b |a|·cosθ 叫做向量a
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在a方向上的投影(θ為向量a與b的夾角),

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平面向量

4.向量數量積的性質
設a與b都是非零向量,則 (1)a⊥b? a·b=0 ;
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(2)若a與b同向,則a·b= |a|·|b| ; 若 a 與 b 反 向 , 則 -|a|·|b| ,特別地:a·a= |a|2 或|a|= a·b= ;

(3)若θ為a、b的夾角,則cosθ= (4)|a·b|≤|a|·|b|.

.

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平面向量

5.向量數量積的運算律
(1)交換律:a·b= b·a ; (2)結合律:λ(a·b)= (λa)·b = (3)分配律:(a+b)·c= a·c+b·c a·(λb) . ;
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平面向量

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平面向量

重點:平面向量數量積的概念,用平面向量的數量積
表示向量的模及向量的夾角. 難點:平面向量數量積的定義及運算律的理解,平面 向量數量積的應用.
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平面向量

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平面向量

1.兩向量的數量積是一個實數,而不是向量.要注意
兩向量數量積的書寫為a·b,中間的圓點不能省略. 2.當a≠0時,a·b=0不能推出b一定為零向量,這是 因為對任一與a垂直的非零向量b,都有a·b=0. 3.若a、b、c為實數,當b≠0時,ab=bc?a=c,但對
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于向量的數量積,該推理不正確,即a·b=b·c?/ a=c.由
圖很容易看出,雖然a·b=b·c,但a≠c.

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平面向量

4.對于實數a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但對向量a、b、
c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立,這是因為(a·b)·c表示一 個與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個與a共線的向量,而 c與a不一定共線,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立,即使 c與a共線,此式也不一定成立.
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平面向量

a· b 5.要注意區分 a 在 b 方向上的投影為|a|· cosθ= |b| ,b a· b 在 a 方向上的投影為|b|· cosθ= |a| (其中 θ 為 a 與 b 的夾角). 6. 求向量 a 的模(線段長, 兩點間距離), 一般用|a|= a· a a· b 求解;求 a 與 b 的夾角 θ,一般用 cosθ=|a|· 求解;若 a 與 |b| b 垂直,一般用 a· b=0 求解.
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平面向量

7.注意(1)a·b>0與a、b夾角為銳角不等價,∵a·b>0
包括同向的情況; (2)a·b<0與a、b的夾角為鈍角也不等價,∵a·b<0包括 反向的情況.
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(3)找兩向量的夾角是求數量積的一個關鍵環節,應注 → BC → 意兩向量夾角是其“方向”的夾角,如△ABC 中求AB· → → 時,AB與BC的夾角是圖中的 α,而不是 β.

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平面向量

8.(1)|a+b|=|a-b|?a⊥b.
(2)|a+b|=|a|+|b|?a與b同向或至少有一個為0. (3)|a-b|=|a|+|b|?a與b反向或至少有一個為0. (4)|a±b|≤|a|+|b|. (5)|a·b|≤|a|·|b|.
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(6)|λa|=|λ||a|.
a 9.向量 a 的單位向量 a0= ,與 a 共線的單位向量為 |a| a ± ,兩者應加以區分. |a|

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[例1]

已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為θ=150°,
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求a·b,(a-b)2,|a+b|. [分析] 利用數量積的定義求解,特別注意|a|2=a·a.

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[解析]

a· b=|a||b|cos150° =-6 3.

∵(a-b)2=|a|2-2a· b+|b|2=25+12 3. ∴|a+b|= (a+b)2= |a|2+2a· b+|b|2 = 25-12 3, 即|a+b|= 25-12 3.
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平面向量

a , b 的 夾 角 為 120° , |a| = 1 , |b| = 3 , 則 |5a - b| = ________. [答案] 7
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平面向量

[解析]

3 ∵a· b=|a|· |b|cos120° =-2,
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∴|5a-b|2=(5a-b)2=25a2+b2-10a· b
? 3? =25+9-10×?-2?=49, ? ?

∴|5a-b|=7.

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平面向量

[例2]

已知a,b是兩個非零向量,且|a|=|b|=|a-b|, 求a與a+b的夾角,一般應先計算|a|,|a+b|,
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求a與a+b的夾角. [分析]

及a·(a+b),為此須考慮條件的作用,即怎樣建立
與條件式的聯系是解題的關鍵. 若從條件入手尋找解題途徑,應從a-b與a+b的幾何 意義著手探求已知與待求的聯系.

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平面向量

[解析]

解法一:由|a|=|b|=|a-b|得,

|a|2=|b|2,|b|2=|a|2-2a· b+|b|2, 1 2 ∴a· |a| .而|a+b|2=|a|2+2a· b= b+|b|2 2 1 2 =2|a| +2·|a| =3|a|2,∴|a+b|= 3|a|. 2
2
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設 a 與 a+b 的夾角為 θ, 1 2 a· (a+b) |a| +2|a| 3 則 cosθ= = =2. |a||a+b| 3|a||a|
2

∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=30° .

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平面向量

→ 解法二: 如圖所示, 在平面內取一點 O, → =a,OB 作OA → =b, → ,→ 為鄰邊作平行四邊形 OACB, → |=|OB|, 以OA OB 使|OA → 所以四邊形 OACB 為菱形,OC 平分∠AOB,這時OC=a+ → b,BA=a-b, 由于|a|=|b|=|a-b|, → → → 即|OA|=|OB|=|AB|, 所以∠AOC=30° . 即 a 與 a+b 的夾角為 30° .
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平面向量

已知|a|=2,|b|=4. (1)當a⊥b時,|a+b|=________; (2)當a∥b時,a·b=________;
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(3) 若 a + 2b 與 3a - b 垂 直 , 則 向 量 a 與 b 的 夾 角 為
________.

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平面向量

[解析]

(1)∵a⊥b,∴a· b=0,

∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a· 2=4+16=20, b+b ∴|a+b|=2 5. (2)∵a∥b,∴當 a 與 b 同向時,a· b=|a|· |b|=8; ∴當 a 與 b 反向時,a· b=-|a|· |b|=-8. (3)由 a+2b 與 3a-b 垂直,得: (a+2b)· (3a-b)=0,即 3a2+5a· b-2b2=0, ∴5a· b=2b2-3a2,∴a· b=4. a· b 4 1 設 a,b 的夾角為 θ,則 cosθ=|a||b|= =2, 2×4 ∵0° ≤θ≤180° ,∴θ=60° .
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平面向量

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平面向量

[例3] 求證△ABC的三條高線交于一點. [分析] 由“高”想到垂直,兩條高線必相交于一點, 教
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如BC邊上的高線與AB邊上的高線相交于P,只須證點P在

AC邊的高線上,即證BP⊥AC.將已知和待證用向量表示即
可完成證明.

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平面向量

[證明]

設 P 為△ABC 的邊 AB 上高線和邊 BC 上高線

→ → → → → 的交點,PA=a,PB=b,PC=c,則AB=b-a,BC=c-b, → CA=a-c,
?a· ? (c-b)=0 → ⊥BC,PC⊥AB,∴? → → → ∵PA ?c· ? (b-a)=0 ?a· b=0 ? c-a· ∴? ?c· a=0 ? b-c·
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,∴c· b-a· b=0,即 b· (c-a)=0,

→ AC → → → ∴PB· =0,∴PB⊥AC,即 PB⊥AC, ∴P 為△ABC 三條高線的交點.

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平面向量

[點評]
決.

證明三線共點問題一般從兩線交點入手,證

明第三條線過該點,垂直問題一般都利用數量積為0來解 本題是用語言敘述的數學問題,需要作出圖形,先把 用數學語言描述的問題轉化為具體的平面向量問題,再進
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行證明.

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平面向量

求證菱形的兩條對角線互相垂直.
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平面向量

[解析] 角線

已知: ABCD 是菱形, 和 BD 是它的兩條對 AC

求證:AC⊥BD. → → → → → → 證明:∵AC=AB+AD,BD=AD-AB, → BD → → (AD → → ∴AC· =(AB+AD)·→ -AB) → → =|AD|2-|AB|2. → → → BD → ∵|AB|=|AD|,∴AC· =0. ∴AC⊥BD.

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平面向量

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平面向量

[分析] 由數量積的運算律可對條件式進行變形,轉 化為三角形邊的關系.

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平面向量

[解析]

→ BC → → ∵AB· +AB2=0,

→ (BC → ∴AB·→ +AB)=0. → AC → → → ∴AB· =0,∴AB⊥AC, ∴△ABC 為直角三角形.
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平面向量

→ → 已知△ABC 中,AB=a,AC=b,若 a· b<0,則△ABC 是 ( A.鈍角三角形 C.銳角三角形
[答案] A [解析] 由a·b<0易知〈a,b〉為鈍角.
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)

B.直角三角形 D.任意三角形

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平面向量

[例5]

已知a,b是非零向量,若a+3b與7a-5b垂直,

a-4b與7a-2b垂直. 試求:a與b的夾角. [分析] 求a、b的夾角θ可利用公式a·b=|a||b|cosθ,利 用題設中的垂直條件,可得|a|、|b|的方程組求得|a|、|b|的關
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系,將它代入公式求出θ的值.

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平面向量

[解析]

方法 1:由條件知
?7a2+16a· b-15b2=0,① ? 所以? 2 ?7a -30a· b+8b2=0,② ?

?(a+3b)· (7a-5b)=0, ? ? ?(a-4b)· (7a-2b)=0, ?

由①-②得 46a· b-23b2=0,所以 b2=2a· b. 將它代入②得 a2=2a· b,∴|a|=|b|. 所以由 b2=2a· 可知|b|2=2|a||b|cosθ, b 1 所以 cosθ=2,所以 θ=60° . 即所求向量 a,b 的夾角為 60° .

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平面向量

方法 2:由條件知:
?(a+3b)· (7a-5b)=0 ? ? ?(a-4b)· (7a-2b)=0 ? ?7a +16a· b-15b =0 ? ∴? 2 ?7a -30a· b+8b2=0 ?
2 2

① ②

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①×15+②×8 得|a|=|b|, 由①得 7|a|2+16|a||b|cosθ-15|b|2=0, 1 ∴7+16cosθ-15=0,∴cosθ=2. ∵0° ≤θ≤180° ∴θ=60° 即向量 a 與 b 的夾角為 60° , , .

第二章

平面向量

(09· 重慶理)已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,則向量 a 與 b 的夾角是 ( π A. 6 π C.3 π B. 4 π D.2 )
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[答案] C

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[解析] a(b-a)=a·b-a2
=|a|·|b|cos〈a,b〉-|a|2 =6cos〈a,b〉-1=2,
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平面向量

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平面向量

一、選擇題
1.若a·c=b·c(c≠0),則 A.a=b B.a≠b C.|a|=|b|
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(

)

D.a在c方向上的投影與b在c方向上的投影必相等
[答案] D [解析] 設a與c的夾角為θ1,b與c的夾角為θ2, ∵a·c=b·c,∴|a|·|c|cosθ1=|b|·|c|cosθ2, 即|a|cosθ1=|b|cosθ2,故選D.

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平面向量

2.若|a|=4,|b|=3,a·b=-6,則a與b的夾角等于
( A.150° [答案] B [解析] 因為a·b=|a||b|cosθ,所以 B.120° C.60° )
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D.30°

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平面向量

3.若向量a與b的夾角為60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)
=-72,則向量a的模為 ( A.2 [答案] C B.4 C.6 D.12 )
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[解析] ∵a·b=|a|·|b|·cos60°=2|a|,
∴(a+2b)·(a-3b)=|a|2-6|b|2-a·b =|a|2-2|a|-96=-72. ∴|a|=6.∴選C.

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平面向量

4.(2010· 重慶文,3)若向量 a=(3,m),b=(2,-1), a· b=0,則實數 m 的值為 ( 3 A.- 2 C.2 3 B. 2 D.6 )
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[答案] D
[解析] 因為a=(3,m),b=(2,-1), 所以a·b=6-m=0,得m=6,故選D.
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平面向量

二、填空題
5.(2010·江西文,13)已知向量a,b滿足|b|=2,a與b 的夾角為60°,則b在a上的投影是__________. [答案] 1
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平面向量

6.若|a|=6,|b|=12,且(λa+b)⊥(λa-b),則λ的值為
________. [答案] ±2 [解析] ∵(λa+b)⊥(λa-b), ∴(λa+b)·(λa-b)=0,
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∴λ2a2+λa·(-b)+b·λa-b2=0.
∴λ2|a|2-|b|2=0,∴λ2=4,∴λ=±2.

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→ → → AC → 7.已知△ABC 中,|AB|=|AC|=4,且AB· =8,則這 個三角形的形狀為________.
[答案] 等邊三角形
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8.(2010·浙江文,13)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|
=2,α⊥(α-2β),則|2α+β|的值是________.
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三、解答題
9.已知m、n是夾角為60°的兩個單位向量,求向量a =2m+n和b=-3m+2n的夾角θ.
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[解析]

1 ∵m· 2, n=
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∴|a|2=4|m|2+4m· n+|n|2=7, 7 ∴|a|= 7,同理,|b|= 7,a· b=-2, a· b 1 ∴cosθ=|a||b|=-2,0≤θ≤π, 2 ∴θ=3π.

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10.已知|a|=1,|b|=
(1)若a∥b,求a·b;

,且a與b的夾角為θ.

(2)若a、b的夾角為60°,求|a+b|; (3)若a-b與a垂直,求a與b的夾角.
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[解析]

(1)當 θ=0° 時,a· b= 2;

當 θ=180° 時,a· b=- 2. 2 (2)∵a· b=|a|· cos60° 2 , |b|· = ∴|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=3+ 2, ∴|a+b|= 3+ 2. (3)由(a-b)· a=0 得 a2=a· b, a· b 2 ∴cosθ= = ,∴θ=45° . |a||b| 2
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