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電路PPT課件第5章 電容元件與電感元件-文檔資料_圖文

第二篇 動態電路的時域分析
第五章 電容元件與電感元件
§5-1 §5-2 §5-3 §5-4 §5-5 §5-6 §5-7 電容元件 電容的VCR 電容電壓的連續和記憶性質 電容的儲能 電感元件 電感的VCR 電容與電感的對偶性 狀態變量

第五章 電容元件與電感元件
理想電路元件 為了便于 分析與計算實 際電路,在一 定條件下,常 忽略實際電氣 部件的次要因 素而突出其主 要電磁性質, 把它抽象為理 想電路元件。

理想電源元件

理想無源元件

理 想 電 壓 源

理 想 電 流 源

電 阻 R

電 感 L

電 容 C

理想電路元件是指只顯示單一電磁現象,并且可以 用數學方法精確定義的電路元件。

本章內容概述
1. 動態元件:電容、電感元件。 含有一個獨立的動態元件的電路稱為一階電路; 含有兩個獨立的動態元件的電路稱為二階電路。 2. 動態電路是“有記憶”的電路:響應不僅與現 在 的激勵有關,還與過去的響應有關。 3. KCL、KVL仍是分析電路的基本依據。 4. 以下三章討論動態電路的時域響應,本章介紹 動態元件的VCR、等效電路、狀態等概念。 5. 狀態變量:電容電壓 uC、電感電流 iL。

第五章 小結
電容元件
iC C

電感元件
iL
L + uL -

q ( t) = C u C ( t)

+ uC -

? (t) = L iL(t)

d iL duC uL ? L iC ? C dt dt 1t 1t i ( t ) ? i ( t ) ?? u ( ? ) d ? u ( t ) ? u ( t ) ?? i ( ? ) d ? L L 0 L C C 0 C t t 0 0 L C

p C ( t) = u C ( t) ? iC ( t)
1 2 w ( t) ? C u ( t) C C 2

pL(t) = uL(t) ? iL(t)
1 2 w (t) ? L iL (t) L 2

電流為有限值時, 電壓不能躍變 電壓為有限值時, 電流不能躍變

§5-1 電容元件
電容元件的參數
+ u

庫侖(C)
q C ? u

i
C

法拉(F)
6

(伏)V

– 當通過電容的電荷量或電壓 發生變化時,則在 電容中引起電流 d q d u 在直流穩態時, i ? ?C I=0 ,電容隔直流。 d t d t 電容儲存的電場能 WC= 1 C uC2 2 C是儲能元件

12 1 p F ? 10 F 1 ? F?10F

§5-1 電容元件
1. 電容器:能聚集電荷,存儲電場能的器件。
2. 電容元件:理想電容,是實際電容器的理想化模型。
理想電容只存儲電場能量,本身無能量損耗。 3. 實際電容器:其介質不能做到完全絕緣,故有一定 程度的漏電。等效電路為: C 與 R 并聯。 4. 電容器的參數: (1)電容量 C (2)額定電壓
i(t) C q(t) C R 實際電容器 的等效電路

6-1

+ u(t) 電容符號

6-1

5. 特性曲線:在任一時刻,電容貯存的電荷 q 與其端 電壓 u 的關系,由 q – u 平面上的一條曲線所決定。 電容元件是電荷與電壓相約束的元件。 6. 線性時不變電容: 其特性曲線是一條過原點的直線, 且不隨時間而改變。

7. 電荷與電壓的約束關系
q (t) = C u (t)
電容 C ? q q

q (t ) u (t )

u

u

單位:法拉(F) 微法(?F)

線性時不變電容

非線性電容

6-2

§5-2 電容的VCR
1. 微分關系
d q d Cu d u i ( t ) ? ? ? C d t d t d t du i(t ) ? C 關聯參考方向 dt du 非關聯參考方向 i(t) ? ? C dt

i(t) C
+ u(t)–

關聯參考方向
i(t) C –u(t) + 非關聯參考方向

注意:
d u (1) i(t)與u(t)的變化率 成正比,而與u(t)的數值無關。 d t d u (2) i(t)為有限值,則 為有限值,即 u(t) 不能躍變。 d t

6-2

注意:

d u (1) i(t)與u(t)的變化率 成正比,而與u(t)的數值無關。 d t d u (2) i(t)為有限值,則 為有限值,即 u(t) 不能躍變。 d t K 在特殊情況下,u (t)
+ US C + UC (t)

可以躍變,此時理想電壓 源需要提供無限大的電流。

– 在開關K閉合的瞬間, 由KVL,uC (t) 躍變為US。 條件是:理想電壓源應提供無窮大的電流,即 具有無窮大的功率,這是實際電源達不到的。



6-2

2. 積分關系

du 由 i(t ) ? C dt + u(t)– 1t 關聯參考方向 ( t)? ? i( ? ) d ? 有 u ? ? C 電容電壓 u(t) 取決于從–? 到 t 所有時刻的電流值。
u(t)具有“記憶”電流的作用,C為“記憶”元件,又稱慣性元 件。 1 1 t t 0 u ( t ) ?? i ( ? ) d ? ? i ( ? ) d ? ? ? ? t 0 C C 1t u ( t ) ? u ( t ) ?? i ( ? ) d ? u(t0) — 電容電壓初始值 0 t 0 C 1t ( t ) ? u ( 0 ) ?? i ( ? ) d ? 若 t0 = 0,則有 u 0 C

i(t) C

§5-3 電容電壓的連續性質和記憶性質
1. 電容電壓的連續性質
1t u ( t ) ? u ( t ) ?? i ( ? ) d ? 0 t 0 C
i /mA
10 0 –5 2 4 8

當電容電流 i (t) 不連續時, 電容電壓 u (t) 是連續的。

電容電壓u(t)的連續性質表述如下:
當電容電流 i (t) 在閉區間 [ ta, tb ] 內為有界的,則電容電壓 u(t) 在開 區間 ( ta, tb ) 內為連續的。特別是, 對任意時刻 t,且 ta < t < tb ,有

t (s)

u /V
20 0
2 4 8

t (s)

uC (t-) = uC (t+)
文字表述為:電容電壓 uC 不能躍變。

2. 電容電壓的記憶性質 由
1t u ( t)? ? i( ? ) d ? ? ? C

6-3

可知:電容電壓的大小取決于電容電流的全部歷

史,所以說電容電壓具有“記憶”電流的性質。
關系式
1t u ( t ) ? u ( t ) ?? i ( ? ) d ? 0 t 0 C

是更具有實際意義的、反映電容電壓“記憶”性質 關系式。

在分析 t ≥ t0、含電容元件的動態電路時,電容 電壓初始值是一個必備的條件,即必須考慮 u (t0) 對 電路響應的影響,因此,這是一個非常重要的概念。

6-3

3. 電容初始電壓 uC (t0) 的等效電路
1 1 t t 0 u ( t ) ?? i ( ? ) d ? ? i ( ? ) d ? ? ? ? t 0 C C 1t u ( t ) ? u ( t ) ?? i ( ? ) d ?? U ? u ( t ) 0 0 1 t 0 C

t ≥ t0 +
+

N

+

u C ( t) – uC (t0) = U0

C

N

u C ( t)


C

u1(t)
– + – 注意U0 的方向

U0

u1(t0) = 0

結論:可將電容電壓初始值 uC (t0) = U0 等效為
一個未充電的電容與電壓源U0 的串聯。

§5-4 電容的儲能
1. 電容的功率 瞬時功率 p(t) = u(t) ? i(t)
2. 電容的儲能
dw 由 p (t ) ? dt

采用關聯參考方向時

p > 0 電容儲存或吸收功率; p < 0 電容提供或釋放功率。

可得電容在 (t1, t2) 區間內的儲能為
t 2
1

w ( t , t ) ?p ( ) d ?u ( ) ? i ( ) d 代入 i(t ) ? C C 1 2
1

? ? ? ? ? ? ? t t
t 2
t 2

du dt

在 t1 ~ t2 期間 12 12 2 ? C u ? C u ( t ) ? u ( t ) 2 1 電容的凈儲能 2 2

u ( t ) 2 d u ? u ( ? ) ? Cd ? ? C u d u ? ? t u ( t ) 1 1 d ?

?

?

6- 4

1 2 1 2 w ( t ) ? p ( ? ) d ? ?C u ( t ) ?C u ( ? ? ) C ? ? ? 2 2 1 2 w ( ? ? ) ? C u ( ? ? ) ? 0 C 2 1 2 w (t) ? C u (t) ? u2(t) — 故將uC稱為電路的狀態變量 2

t

結 論
(1)電容儲能與該時刻的電壓值有關,而與電流無關; (2)電容的儲能本質,使電容電壓具有記憶性質;

(3)電容電壓不能躍變,反映了儲能不能躍變的實質,
即電容電流在有界條件下電容電壓具有連續性質。

6- 4

例 電容與電壓源 u(t) 相連接的電路如圖(a),u(t)的波形
為三角波如圖 (b) 所示。求電容的電流、功率和儲能 隨時間變化的波形。
u/V

+ u(t)

iC(t)
C 1?F

100
0 -100



0.5

1

1.5

t/ms

圖(a)

圖(b)

解 在0.25 ~ 0.75ms期間,u(t) 的變化率為常數,故i(t)為方波
(1)由 i(t ) ? C

du 可求得 i(t) 波形的幅值 dt d u ? 6 3 ? 200 ? i ( t ) ? C? 10 ? ? 10 ? ? 0 . 4 A ? ? d t . 5 ? ?0

同理,在0.75 ~ 1.25ms 期間,i(t) = 0.4A

6- 4

解 (1) i(t) 的波形為方波,幅值為
i(t) = ? 0.4A (0.25ms, 0.75ms) i(t) = 0.4A (0.75ms, 1.25ms)
100 0 ?100 0.4 0 ?0.4 40 0 ?40

u/V
0.5 1 1.5

t/ms

(2) 由 p(t) = u(t) ? i(t) 可知 pC(t) 的波形為鋸
齒波,其幅值為 ?40W。

iC(A)
0.5

(b)
t/ms

1 2 (3) 由 w ( t) ? C u( t) C 2 可知 wC(t) 的波形為拋 物線,其幅值為 5mJ。
畫出電容的電流、功率和儲能 的波形如圖(c)、(d)、(e)所示。

pC/w
0.5

(c)

1

1.5

1

1.5

t/ms

wC(mJ)
5
0 0.5

(d)
1 1.5

t/ms

(e)

§5-5 電感元件
i
+ u? – N

磁鏈 ? =N?

i
+ ? u –

韋伯(Wb)

i – eL L 亨利(H) +

L=

N?

(安)A

L稱為電感或自感。線圈的匝數越多,其電感越 大;線圈單位電流中產生的磁通越大,電感也越大。 在圖示u、i 、e假定參考方向的前提下,當通過 線圈的磁通或i 發生變化時,線圈中產生感應電動勢 為 d? i eL = N dt = L d dt

在圖示u、i 的關聯參考方向下 電壓電流關系

i
+ u – – eL L +

根據KVL可寫出

d i u?? e L ?L d t

u ? e ? 0 L

在直流穩態時,電感相當于短路。

d i p?ui? Li 瞬時功率 d t p>0, L把電能轉換為磁場能,吸收功率。 p<0, L把磁場能轉換為電能,放出功率。 1 Li 2 電感儲存的磁場能 WL= 2 L

L是儲能元件

§5-5 電感元件
1. 電感器:用導線繞制的線圈,存儲磁場能的器件。 理想電感只存儲磁場能量,不消耗能量。 3. 實際電感線圈:其導線具有電阻,故有一定程度

2. 電感元件:理想電感,是實際電感線圈的理想化模型。

的 能量消耗,其等效電路為: L 與 R 串聯。
4. 電感線圈的參數: (1)電感量 L (2)額定電流
L ? (t) L

i(t)

R

+ u(t) -

電感符號

實際電感線圈

5. 特性曲線:在任一時刻,磁鏈? 與流過電感的電 流 i 之間的關系,由 ? – i 平面上的一條曲線所決定。 電感是磁鏈與電流相約束的元件。

6. 線性時不變電感:其? – i 曲線是過原點的直線, 且不隨時間而改變。 7. 磁鏈與電流的約束關系
? (t) = L i (t)
? (t ) 電感 L ? i (t )
?
i

?
i

單位:亨利 (H) 毫(mH)

線性時不變電感

非線性電感

§5-6 電感的VCR
1. 微分關系
d ? d Li d i u ( t ) ? ? ? L d t d t d t
i(t) L
+ u(t) -

關聯參考方向

di u(t ) ? L dt
di u(t) ? ? L dt

關聯參考方向 i(t) 非關聯參考方向

L

- u(t) + 非關聯參考方向

注意:
d i (1) u(t)與i (t)的變化率 成正比,而與 i (t)的數值無關。 d t d i (2) u(t)為有限值,則 為有限值,即 i (t) 不能躍變。 d t

2. 積分關系
由 有

6-6

di u(t ) ? L dt 1t ? ( t ) i ( t ) ?? u ( ? ) d ? ? ? ? L L

i(t)

L

+ u(t) 關聯參考方向

電感電流 i(t) 取決于從 -? 到 t 所有時刻的電壓值。

i(t)具有“記憶”電壓的作用,L為“記憶”元件,也稱慣性元
件。 1 t t 0 1 i ( t ) ? u ( ? ) d ? ? u ( ? ) d ? ? ? t 0 L L 1t i ( t ) ? i ( t ) ? u ( ? ) d ? i(t0) — 電感電流初始值 0 t 0 L 1t 若 t0 = 0,則有 i ( t ) ? i ( 0 ) ? u ( ? ) d ? L0

?

?

?

?

3. u、i 與 e 關聯參考方向的含義
di 表達式 u(t ) ? L dt

的使用條件:必須采用關聯參考方向。 依據楞次定律
d ? d i e ( t )? ? ? ? L d t d t
i(t) L

當u (t) 與 i (t) 的方向一致時, 因 e (t) 與 i (t) 的方向也一致, 且 u (t) 與 e (t) 在數值上相等,

+ u(t) - e( t ) +

關聯參考方向

故有 u (t) = – e (t)

§5-7 電容與電感的對偶性 狀態變量
1. 電容與電感的對偶性
電容的VCR
du i(t ) ? C dt

電感的VCR

di u(t ) ? L dt

對比以上兩式可發現:將 u、i 互換;C、L互換, 即可由電容的VCR得電感的VCR,反之亦然。 因此稱電容與電感為一對對偶量; 同理,電荷與磁鏈也是一對對偶量。

1. 電容與電感的對偶性
由L與C的對偶性,可得電感電流的連續性和記憶性:
i L ( t - ) = i L ( t +)

電感電流不能躍變。

1t i ( t ) ? i ( t ) ? u ( ? ) d ? ? I ? i ( t ) L L 0 L 0 1 t 0 L

?

t ≥ t0
i1(t)

i L( t )

i L( t )

N

+ u(t) L -

N

+ u(t) -

I0

L
注意 I0 的方向

iL (t0) = I0

i1(t0) = 0

結論:可將電感電流初始值 iL (t0) = I0 等效為
一個初始電流為零的電感與電流源 I0 的并聯。

1. 電容與電感的對偶性

6-7

由L與C的對偶性,可得電感的儲能: 1 2 w ( t) ? L iL ( t) ? i 2(t) — 將iL稱為電路的狀態變量 L 2 電感電流的連續性和記憶性質是電感儲能的體現。

2. 狀態變量的概念
在電路及系統理論中,狀態變量是指一組最少的

變量,若已知它們在 t0 時刻的數值(即初始狀態),連
同電路在 t ≥ t0 時的輸入,即可確定t ≥ t0 時電路的任 意變量的數值(即電路響應)。

電路的狀態變量 uC (t) 、iL (t) 。

§5-8 電容、電感的串、并聯
將 n 個電容串聯或并聯,可等效成一個電容:
1 1 1 1 ? ? ? ???? C C C 1 C 2 n

6-8

C—串聯 C—并聯

類似于電阻并聯 類似于電阻串聯

C = C1 + C2 + ? ? ? + Cn

將 n 個電感串聯或并聯,可等效成一個電感: L—串聯 L—并聯 L = L1 + L2 + ? ? ? + Ln 類似于電阻串聯

1 1 1 1 ? ? ? ???? L L L 1 L 2 n

類似于電阻并聯

第五章 小結
電容元件
iC C

電感元件
iL
L + uL -

q ( t) = C u C ( t)

+ uC -

? (t) = L iL(t)

d iL duC uL ? L iC ? C dt dt 1t 1t i ( t ) ? i ( t ) ?? u ( ? ) d ? u ( t ) ? u ( t ) ?? i ( ? ) d ? L L 0 L C C 0 C t t 0 0 L C

p C ( t) = u C ( t) ? iC ( t)
1 2 w ( t) ? C u ( t) C C 2

pL(t) = uL(t) ? iL(t)
1 2 w (t) ? L iL (t) L 2

電流為有限值時, 電壓不能躍變 電壓為有限值時, 電流不能躍變

補充:電感元件 e

?

當通過線圈的磁通發生變化時, 線圈中要產生感應電動勢,其 大小等于磁通的變化率,即:

d? | e |= dt
若感應電動勢的參考方向與磁通 的參考方向符合右螺旋定則,則

單位: e —伏 (V) t —秒 (S) ? —韋伯(Wb)

e=

d? 當? 的正值增加,即 dt >0, e為負值,
即其實際方向與參考方向相反。 d? 當? 的正值減小,即 dt <0, e為正值, 即其實際方向與參考方向相同。

d? dt

補充:電感元件 N

i

磁鏈 ? =N? =L i 韋伯(Wb)
電感

+ u –

L= i

?

?

亨利(H)

(安)A

若L為大于零的常數則稱為線性電感 S —橫截面積(m2) l —長度 (m) N —匝數(Wb) ? —磁導率(H/m)

線圈的電感與線圈的尺寸 2 ? SN 匝數及介質的導磁性能等 L= l 有關。一密繞的長線圈

若電路的某一部分只具 有儲存磁場能量的性質 稱它為理想電感元件。

符 號

L

補充:電感元件

e=

d?

電壓電流關系 di di u + e=0 u =L = L dt i dt + – 1 t 1 0 1 t udt = udt + u dt i = L –? L –? u e L 0 L 1 t – + 在直流穩態時,電 =i 0 + L udt 感相當于短路。 0 di p=ui =Li 瞬時功率 dt P>0,L把電能轉換為磁場能,吸收功率。 P<0,L把磁場能轉換為電能,放出功率。 1 2 W = Li 儲存的磁場能 L為儲能元件 L 2

dt

? =L i









第五章 習題
5-1, 5-5, 5-7, 5-10 要求:做每一題時: 1. 畫電路圖; 2. 寫清分析過程。

2. 電感元件 N i
+ u? –

磁通鏈 ? =N?

i
+ ? u –

韋伯(Wb)

i – eL L 亨利(H) +

L=

N?

(安)A

L稱為電感或自感。線圈的匝數越多,其電感越 大;線圈單位電流中產生的磁通越大,電感也越大。 在圖示u、i 、e假定參考方向的前提下,當通過 線圈的磁通或i 發生變化時,線圈中產生感應電動勢 為 d? i eL = N dt = L d dt

在圖示u、i 的關聯參考方向下 電壓電流關系

i
+ u – – eL L +

根據KVL可寫出

d i u?? e L ?L d t

u ? e ? 0 L

在直流穩態時,電感相當于短路。

d i p?ui? Li 瞬時功率 d t p>0, L把電能轉換為磁場能,吸收功率。 p<0, L把磁場能轉換為電能,放出功率。 1 Li 2 電感儲存的磁場能 WL= 2 L

L是儲能元件

[4-35] 電路如圖,已知uS=4V, iS=0時, u=3V;當uS=0, iS=2A時, u=2V;求uS=1V ,電流源用2?電阻替換后, 電壓u 為多少? 解: 已知uS=4V, iS=0時, u=3V
uS
+ -

?

?

電阻 網絡

+?

u ?

iS

可知uS=4V時,有源單口網絡的開路電壓為 uOC1=3V 依據線性電路的比例性,可知uS=1V時,有源單口 網絡的開路電壓為 uOC2=3/4V

當uS=0, iS=2A時, u=2V; 可知無源單口網絡的等效電阻為 R0=u/ iS= 1? 2 3 =0.5V u= ——×— 1+2 4
書中此題答案有誤

R0 U0C2 + –

i

a
2?

+

u –

b


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